日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 DZ9o#t%J  
{AbJ#3q-  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 7?U<XIn k9  
t&b*   
　　1、三角函数本质： ?IR(!VU"  
0f*L+)   
　　三角函数的本质来源于定义 pT^$c1@  
^E zSdg  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 aO<)860  
J$n-%eR7&h  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 FBK/@#<>  
FA7q e $  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： }I FsG  
fNj3j0F#  
　　推导： $8 AZahD  
!-h'LF>*  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ULI5qB:lI  
jf=2hS5!  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) uZpgB:w  
HWjjE =  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Im937*N  
0z~]ewW  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 3 ~u#y=/S  
.z5]a  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） gG_^  
_x=>>?X  
　　[1] {u{+=>m  
8GWj%}  
　　两角和公式 h32_Hmewq  
Etd4EV  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB D[kfmP W`  
|;$o K$  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  t+P1aRN )  
Sj+2TJ# s  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB r1oNqd4[  
w)v.Yo  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB =a 0#iWes  
E>y wtKuQ  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,b)9W  
WTCP6[^  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 'BL,SGG  
e`8~Gziq  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  2!H<i3F  
 C)\153J  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) '[ :C{  
xS'>r% ^c  
倍角公式 q^P]6rf>@  
]45V2x  
　　Sin2A=2SinA•CosA 0XGPl+l1  
"KfHN=2  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 (/*8 x  
$<.)UaHP  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Wq\}n]s  
04g \P  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） q~C |kx&  
$bDoVP}$  
三倍角公式 7 GHU%T  
/-dngr  
　　 bR%MRE  
B,N+   
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) yFq EC@~L  
-v\]s.dc  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) MT KA  
f5\nteT  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) *hfxbS$#{  
_()6LGW  
三倍角公式推导 +%@g`Pd!  
3}- <mF3  
　　sin3a v5=KXucp)J  
nj0hhPG<  
　　=sin(2a+a) x <B?lqp  
"_ bMN   
　　=sin2acosa+cos2asina Z'eJj3Sz  
aPg|HT;,U  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina  ("y` 7  
/4NBfL wd  
　　=3sina-4sin³a M }8uVb"9D  
 $1Z  
　　cos3a x/qJL \4  
GrZSFXpm  
　　=cos(2a+a) &@oc |H  
A;XWjUV  
　　=cos2acosa-sin2asina E }A7A)t  
I<puo?w&  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa } TQO/DI6  
Fb=e2pIQ4H  
　　=4cos³a-3cosa JF/J@b:1<  
cbsaGMrGN  
　　sin3a=3sina-4sin³a B(U>m(^1  
d9-0-4?  
　　=4sina(3/4-sin²a) Zk\@<~#  
<Ns:_\4JH  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] FiD<0a HF  
x_}"(\0]yr  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) pzh|I  
" ^q jh  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ^U?&E8pq5  
t1?sL  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 469w 9+it  
0k\LQ'+]  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) bis_}@  
=(oV37HU  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 'L=O-F  
s:*7]Z=  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ^gE=eW(  
-rW"nr-~  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] C& ,I}I0M  
hdsY  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) amH#^7y  
!JLIxr  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) $o/ )@SEV  
do:R;,Z2jr  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} JYA(6~eV\  
^.]]G*pV  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) E$;e"qJa{  
Qn/v6{`kxL  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] *m>HTRf&  
BeZn"9O  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ( _(=CYE  
Yl4Tqos  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 0<Y,9V"SV  
j *QJXET3!  
　　上述两式相比可得 L."U93   
{CV@6\*J  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) =B`w|WY>%  
p]CEoWy  
半角公式 YrS0,;UJ  
3!yfv"BC  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 5-=N~{rx  
<Pgn!ql%Y.  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. }LF(~R'@  
(W;Gr!3lj  
和差化积 %]2RQ\UwS  
vFg.4Ycmg  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] <88iLFfdby  
h#yjo;S  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] QR  
a4fD]3  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] X4# vQf KU  
D 1Tg,7  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] t[40C,l  
(&nT3K2  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 6>. {o*{  
k EOOR"W  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) }B_nL   
i39+[S '  
积化和差 : >_&pU  
E8y\2"  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ;z VQaTAK  
e-j/|c  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] e}8;yS|c  
EjY5(D  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 8rlD;Ea3  
Jy %:~px|  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] L6zNEFEYz  
cr*_+[^  
诱导公式 aJYS*!E6  
].W"g^Q  
　　sin(-α) = -sinα V"i+K  
aRE2td,  
　　cos(-α) = cosα /!_Orb/?  
>j'L/T6  
　　sin(π/2-α) = cosα a jCJPW\  
mP%TyZ -  
　　cos(π/2-α) = sinα o,N_|}  
b6HBG!L  
　　sin(π/2+α) = cosα =7x/Z#sh  
Ns>9DOu$K  
　　cos(π/2+α) = -sinα F ac-^|  
;*(~1d.  
　　sin(π-α) = sinα 4TyQ *^N  
Q' gq1  
　　cos(π-α) = -cosα Ux9j5  
{Iy0u?  
　　sin(π+α) = -sinα b {_bL-"c  
usSHn1Q/ M  
　　cos(π+α) = -cosα Wm"JTah  
Vp@8O?q `  
　　tanA= sinA/cosA }=}KB@"rT  
+Lc`I>#3t  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα @ =si2  
A~KH+ #  
　　tan（π/2－α）＝cotα (DD9e44Q  
7 5+ 4_H  
　　tan（π－α）＝－tanα 5j;(:)  
iFNVW99"  
　　tan（π＋α）＝tanα GT|'ve$  
T36(cL  
万能公式 ]GSY-^XDM  
sH5Vo{^  
　　 $ "tRD  
b11I/TY  
其它公式 k\TkW1j]  
]Z~A_D|  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 w\?A #w  
= 53!Q4Z  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 T %F-F  
6ey?WkC  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 &AndI  
xo&5UdT  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 bk2Z   
Xw03W.<9Ah  
　　对于任意非直角三角形,总有 zD-tU+&I\  
JZg^"Y Ci  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC R4T,M8/&.[  
MG}NZFF  
　　证: W(D;;;   
xHn^+ZnJ!#  
　　A+B=π-C hG$QAnerf  
'Q3$Vx  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Fle_k]c  
&hmV]LS  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) EX\;%LX  
U#'?lFuM  
　　整理可得 b0#S| 6~Us  
fvQTORd56  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .|}l\mf4=  
$vo5X{O F  
　　得证 |Zy\.)  
k; h9 0  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 =!Zk^*@  
;tk@Fr8'h{  
其他非重点三角函数 ~f0x5;G0  
y=_\zB&hz  
　　csc(a) = 1/sin(a) _ (&WZ:w  
~q~rAn K  
　　sec(a) = 1/cos(a) @4[ y|%-  
qJ?#{}&>t.  
　　 :yyfIWv  
dhp8!8hu  
双曲函数 {`I}FY.#0  
>>X'k&@7  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 B"4o^?L  
O89K1&o(x0  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 71wGr$U d  
gaK'BiVod  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) s{U  
NN*`hqt`ol  
　　公式一： iZM3}I  
!~qGcUT \  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： rMIu-&:  
'8:.P^G  
　　sin（2kπ＋α）= sinα WFZgI"i K{  
:@." ?)0E  
　　cos（2kπ＋α）= cosα R+@* &pp  
aY f=p  
　　tan（kπ＋α）= tanα NlHE"] Z&T  
6Q%I&%  
　　cot（kπ＋α）= cotα ON:2Ec/q  
.%]p~3 S  
　　公式二： Qo"F=z^  
p'U],,  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： C^zdDksN  
:VtRr Iwq  
　　sin（π＋α）= -sinα Gx~Sj I.  
?-tG~*  
　　cos（π＋α）= -cosα (*S^$f.H  
S XA^4TP,  
　　tan（π＋α）= tanα 1Bn#?T_;  
/# dWUBy  
　　cot（π＋α）= cotα Q z(U5N  
fXs(26  
　　公式三： 18LHtXd:  
I|`$.Nx H  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 5EyHU/;m  
,e2M@D  
　　sin（-α）= -sinα XZhDMs!  
e>'4)d/0  
　　cos（-α）= cosα eQx0^N3  
Tw]L%Gqq  
　　tan（-α）= -tanα X9uy+/q#u  
V&zW${pv:.  
　　cot（-α）= -cotα >ihiNY Iy  
e8Pv,S%W  
　　公式四： Plg*P/~_{  
yBQBF7%  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： @*"]np  
l ,X>(b:,  
　　sin（π-α）= sinα sc $N=Tt  
Pk_jHM l  
　　cos（π-α）= -cosα Zvt'h<  
o<WKS4 b6.  
　　tan（π-α）= -tanα PR$R"n  
`@/(3<:nN  
　　cot（π-α）= -cotα TI-1m $,  
_= 'VQc(N  
　　公式五： !Y=p5g;  
JTi}GF10  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 33)\K4 [X(  
GExnzw f  
　　sin（2π-α）= -sinα IR`"?m  
}-^Ze*a"  
　　cos（2π-α）= cosα xt.4B?x|s  
a <Ip)1Iw  
　　tan（2π-α）= -tanα |up|G4,i'  
_M{0zUV"  
　　cot（2π-α）= -cotα 'DO,RW@  
U.qkA+  
　　公式六： K6wYv`IQ  
fde-3xy]  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： BAEM2  
XwGJ"II<  
　　sin（π/2+α）= cosα 46-i@vCl  
~m#H,rJ  
　　cos（π/2+α）= -sinα H:]\RQ;1tg  
QLPkj9  
　　tan（π/2+α）= -cotα /(%a+v  
KV )UeI  
　　cot（π/2+α）= -tanα i XSs/(;  
TJO9kK"  
　　sin（π/2-α）= cosα 3zB57h  
V^Vok {  
　　cos（π/2-α）= sinα -p!7TwX\E  
;xpy2wGn;  
　　tan（π/2-α）= cotα QCksf'a-SB  
*9=.$0\]  
　　cot（π/2-α）= tanα ~)DS71v  
YhUM> m\K  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 6DkUmiD  
OL<dv,H  
　　cos（3π/2+α）= sinα .D0%dm!  
ezB_Zo_P  
　　tan（3π/2+α）= -cotα i^jJ~2hp  
#Go FMOe  
　　cot（3π/2+α）= -tanα M?^2~"/CE  
k mdQ742  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 1wg-] h\R  
< A P(Sz  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Gakz+--/  
4.8wy1!  
　　tan（3π/2-α）= cotα X"ZncKR  
AlqsSxhr  
　　cot（3π/2-α）= tanα -]yp$|+  
t ,&4~;m(  
　　(以上k∈Z) S} qf'%R-  
#Mq?KS{{(Y  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 0d%6nDM"  
Fq]%KFEo$  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = a~&~Y4@fT  
PT'/C{auA"  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } :@%mG;cop  
yt:Fsz  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15556) |  收藏