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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ~_sWmt  
I/?s+@=?  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. MeC+/^}G;  
Jmdi)'x;c  
　　1、三角函数本质： +D`R7Lk  
!Af~0NXJ  
　　三角函数的本质来源于定义 T>73rv8g  
<I9) UIA4  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 T(4+Kx  
@r[\:#V  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 U357e H  
K!i -"\EK  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ywq6%'b!m  
*E3q=Yn  
　　推导： =-&5')Wxe  
4?*^Zbq~  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ?/ mrE5|v  
e8Qfu\L}:o  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ~(o}1c  
uEG US>L  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) &iIzaMG  
bw6Ujf&  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 3oF~AP  
r2/,Saqv  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ;rl$1ejfh  
;f+hNHv  
　　[1] .=(S0J  
{N5~zS  
　　两角和公式 hJu,L V-  
:Y0wure5  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 6?dC6N28D  
&g#'s4<j  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  44f,k  
FzY3*oi+G  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB yB_m8rjOH  
xJ}@ 1WqN  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ZwtQ+9VgR  
V% ,xP7?  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 2gu<k.v  
M.PAJ1$g>  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) $a#R  
j!.hr8UbH  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  R;PQBx3  
ryIUbB  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) $+GUlO @  
y'U`}jD}  
倍角公式 4z>VI ^  
K[hQB*z  
　　Sin2A=2SinA•CosA y>xOw[|  
-q qLzG  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 eimw BAR  
0eE4niqK*  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） N+Zj  
vYA"]I  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） F7aQ;5u"W  
knjlS1#,  
三倍角公式 R<p?Y9X"  
^~{=l`Vw  
　　 /I{ak{c  
(-awJjZ0  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Mq=c WV  
EsI'?K  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) A8R`"s`Y  
jTR ((i  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) K #\G8sY  
V!-[<H"Mb  
三倍角公式推导 C9O$6y  
WS?R[R  
　　sin3a Rs+t6C  
^f%1Je%  
　　=sin(2a+a) )0=hOoJU  
[9@sw_A5  
　　=sin2acosa+cos2asina z$+?Isbf  
Ni9Z7"zB?C  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina  D6;A~,K  
^Mv kXT  
　　=3sina-4sin³a E3yjfA  
eP1 7-  
　　cos3a HR| P\  
=.X6Nyy  
　　=cos(2a+a) gvnuvw3pd  
hik{W  
　　=cos2acosa-sin2asina 'S ^W @  
7c<FoQ"+A  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ^Vs%k3  
Q2y.|?1:i  
　　=4cos³a-3cosa _g):}XX>H  
UA% \L  
　　sin3a=3sina-4sin³a .SeUbP5~^  
f`TG|"#'D  
　　=4sina(3/4-sin²a) ?i>H$M"  
/6#l~ee  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Jt3^H  
,Ue0|-n  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Z0`4Q1  
^ai}lRSy  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) gFt   
NYZ4U`Rp  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] g;=i sC  
XQQ!!`Ni  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) AOl=UL<w  
FprtN  
　　cos3a=4cos³a-3cosa )zKuVV?.*  
Cb<n  
　　=4cosa(cos²a-3/4) sX^&_RE  
f. n5L L  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] g}&JpBmq  
Kjccp}9  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) -G66  
XR'*W||:  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) #5IJeH?'"  
=tT 0Ip  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Rg1kuRL  
u?9/ns  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Kx<P p7  
tJ2 *^  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] :V*:D"  
eO8<KY5"  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] -Tg@:8y  
b9aKT   
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) zq4N"9P  
OR"*Ey"'R  
　　上述两式相比可得 Nf8y8;'1K  
FH1,q`z ^V  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) r5zRF. K  
QIn B  
半角公式 `* fgdk?  
o1C3[ Q  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); H'MYK ^R  
a-r9s~][  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. CFc k`|  
4WpsL  
和差化积 1&-TzYI'  
) diNo  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] xTAoEK6  
,_6{,s$J  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] -{/R0l %C  
 1?I!Y{  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] GrUeuwOtu  
G 9GID~  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] .{ $M O[qn  
 u*BzT!  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) + E;28Y{  
q'P\a:\k  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) S82 }[qTk  
tg@4mYA  
积化和差 ^?_U"K_  
i+(dK1M  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Bm%WqG  
:TL(,6  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] z}{&Z eej  
pD()aAuvc(  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ~83oa+wuC{  
Q39jC"[m  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] {f0\!P v2  
|j"%*1F  
诱导公式 pL?sh/+#  
L7'?8'B09  
　　sin(-α) = -sinα Gw sNRsl'  
{ tn#uvkJ  
　　cos(-α) = cosα GWa0nplu  
qGwuh0~]b  
　　sin(π/2-α) = cosα V<G@~YW$  
v}j7R2EGx  
　　cos(π/2-α) = sinα BvXj|Q FB  
Wut2Tq3MN]  
　　sin(π/2+α) = cosα pOUyvS6  
o('z0`$SCo  
　　cos(π/2+α) = -sinα P.rt\'w  
9Kwh:|WaH;  
　　sin(π-α) = sinα |\d Fxd}e  
C]Gxm_  
　　cos(π-α) = -cosα &E0M%egD  
QIG6Ub   
　　sin(π+α) = -sinα Scq `qE  
aKS{A,-  
　　cos(π+α) = -cosα N;s m^  
05L eShF?"  
　　tanA= sinA/cosA - <+Ol\y  
;s0tk;  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα +G<w6]1; j  
=+ G8]  
　　tan（π/2－α）＝cotα >Km1;I-F**  
)OJ?^) vx,  
　　tan（π－α）＝－tanα {f&'eA y  
z;D ^Yq2  
　　tan（π＋α）＝tanα wtNbl-1  
C:A GSv  
万能公式 _hIS 5|  
jE" M!d!M  
　　 o<J3"cB  
R0|?d[  
其它公式  =G #/-J<  
z hg  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ) wpaK`  
linCc-Nx_  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 H>,Mo!!-Q8  
& vGpb  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 g[!-uzW4*-  
/p>?BK5[  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 +6&{Vv3w_  
Xy{(A IM  
　　对于任意非直角三角形,总有 2"Uts 047  
HVVjWjdO  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC XQNv~:@|<  
f49ZWj;8V|  
　　证: >s,";;9iw  
7H{Yicz  
　　A+B=π-C ;T,S =2  
%*v<*g  
　　tan(A+B)=tan(π-C) bls l5-  
5{;Whf`  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) uU\+F3;  
#0 R"m&  
　　整理可得 c7@nl:$'  
>mr8pn4  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `3 b)nMe  
dN+ /SCuq$  
　　得证 (,2 vn5  
U.S}*bq~p  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 NK!4~3}   
O+4^Ewt;V  
其他非重点三角函数 = R.YiO  
`@2BZG  
　　csc(a) = 1/sin(a) sYw^0  
?c ,>  
　　sec(a) = 1/cos(a) RE?e%#F )s  
XOb[HG  
　　  bC@c]be  
U ^8kj3  
双曲函数 72f 4VmL  
|(:'wK$S  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 &Fx"<=^D  
_xU[P*9  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 fu=x U):  
!.(ySkD}  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Ji:[>4!Ux  
m>.|v}L`)L  
　　公式一： H}1xT }{  
St)8{M%Mj?  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： G(~Ws  
m{['1b o  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ]c3EJ@7`Mz  
Y_"F{{k6  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 6`; M@  
a%2F4(v]  
　　tan（kπ＋α）= tanα p<ThZz)%MP  
H@&n&ig)  
　　cot（kπ＋α）= cotα &X~50Hr2  
hA>L[w  
　　公式二： (&eM.U}  
K_3m_+lQ  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： B.*_]`&T(  
nLjF'c=P  
　　sin（π＋α）= -sinα pbN57FHbt  
sha4s7i/  
　　cos（π＋α）= -cosα wS2V;p#=Y  
| foZ@5x  
　　tan（π＋α）= tanα | D5y@R{  
/l(:vv  
　　cot（π＋α）= cotα 7:y.A}/f?E  
X9fC')2y  
　　公式三： /fAL"M>  
oQ* %}a!  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： j&!T kkz  
*pN k '  
　　sin（-α）= -sinα <0 o- |.9  
>3H5>9ZM  
　　cos（-α）= cosα X%g1\4[  
LAVc^F<t  
　　tan（-α）= -tanα 4=\et0@6  
T6i).\Ti  
　　cot（-α）= -cotα /B-rPJ  
D}E@/>K  
　　公式四： 9d<';j\T  
C;!wV/  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sUV|[g y  
2KHv8&<)  
　　sin（π-α）= sinα 013UBU,h  
gn4 ',BL{  
　　cos（π-α）= -cosα EEm`|V+bW  
I-=7/?  
　　tan（π-α）= -tanα lq3XDb/c  
st@gno4j  
　　cot（π-α）= -cotα vh2SjyOV  
LK8 G{J  
　　公式五： k7`\dk6x  
0 }7 $t=l:  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： M xN%XG  
5|;@]b!  
　　sin（2π-α）= -sinα i7W-LUo  
i`HDL<nU  
　　cos（2π-α）= cosα Pf^Ph}^6  
(KPc B&  
　　tan（2π-α）= -tanα s3?<v  
@t^_V3,  
　　cot（2π-α）= -cotα O>.eQus  
b~Qe/[,  
　　公式六： ,0cR3 B!h  
<3Jf>~*c  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 4xOYDaR:  
/<4]oYYh  
　　sin（π/2+α）= cosα rSG19Q*X  
:Wkgov  
　　cos（π/2+α）= -sinα BXVeeSGz  
' J{/r=H  
　　tan（π/2+α）= -cotα w.{E`rE  
1= C^]IPu  
　　cot（π/2+α）= -tanα 1Y0v#F  
!(0a fcI  
　　sin（π/2-α）= cosα !+8\S_ ?X  
u}sR3<8  
　　cos（π/2-α）= sinα ^ mIVm"  
Xlogg  
　　tan（π/2-α）= cotα 3)) ZN^Gf  
0o x^C  
　　cot（π/2-α）= tanα H*Dd0;T(  
028S@.ROf  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ROj@I#BtWh  
H>]/\Yl<2  
　　cos（3π/2+α）= sinα #dtpl+  
'/jl)b;r&  
　　tan（3π/2+α）= -cotα =Y+ J8RZ3U  
cOJTw*bH  
　　cot（3π/2+α）= -tanα }4Db?},x\U  
F/q"FD]R  
　　sin（3π/2-α）= -cosα TmQ >n-l  
0#~KRI$O  
　　cos（3π/2-α）= -sinα (wgJ*;b>H  
ulLK AP]I  
　　tan（3π/2-α）= cotα C?(UCGJ  
6T2ZLPX@8d  
　　cot（3π/2-α）= tanα h;G F=dq,z  
0%@%_A,  
　　(以上k∈Z) \LvbtMX8G+  
fl/~gL?c  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 UaFd. ~H'  
qR&A$.e  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = HKZ{.9ysr  
o}x0"1!  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } u 6I$.QPS2  
/c!b?t]i  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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