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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ( kB]);J  
>}VX@2xa  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 2'A k  
b*I:"Bi?  
　　1、三角函数本质： "=XpLFn5(  
"m-k}Q  
　　三角函数的本质来源于定义 *kv^{a  
5#or_m0T  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 7Hg]#KlZe  
+at E!F  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 TO|L/gpkue  
A1iex0  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 5Z9V5f9|>I  
gcd;boi  
　　推导： BK"(S  
/D kND#>  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 26+gHJ  
56swn/g4  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 2D<RQW,9  
L25Ft*Brh  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 8Im#mk*(  
[V4Xd^  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 yvMPk]>R  
,R! wo  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） /,s;5_K  
q%^a i4 Z  
　　[1] kq=sU=`?  
%[*H:Kj}\  
　　两角和公式 KnF} sE#  
L$,?XR  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ~V(j-:!n9  
s%r]$Or?  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  qIdWv yx  
cWN)\N)  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB a^[2nE"  
k 8iY=>  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 86dC%  
C\,ned  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) H$yn"/  
f5 SD $  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) $h\MCS|>o  
._ "osPV  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)   y#Jn}  
&fD#z  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) muv-c<4KK  
I-E ,G+2*  
倍角公式  $_nyd7s}  
u. V^b/  
　　Sin2A=2SinA•CosA Z g=Ob=  
; oJ+h7d(1  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 *?/ mRWjE  
MY=Z0&PF*@  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） M{a +aCNM  
Y@>8+?  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ;d>;Jb&BH`  
+DlmBs}4  
三倍角公式 1DYF%,,T  
vB[ (">  
　　 puL;l* X/  
IwxKT|0^  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) xe # F39  
AXYkS81;s  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) |:@X:+xP`8  
o7E/ CmNAE  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) /f~#SN$  
%`P7BK[}  
三倍角公式推导 F??e-Asn  
uwDxK@  
　　sin3a WzmkB b  
mZ S|3t  
　　=sin(2a+a) 73@=bR s<Q  
TGu>e$w?d  
　　=sin2acosa+cos2asina R-@T$y N  
;H;}:PYx!  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina s@.uzst  
_]t;10"  
　　=3sina-4sin³a C +UOa Gh>  
WiQb " z,w  
　　cos3a MwR6RX=@  
He@u01h`  
　　=cos(2a+a) PAkk!Sv:  
WF(-j|zy  
　　=cos2acosa-sin2asina bUN 6 9Bt  
]F7\6Qv5%  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa \"ye|#KEyT  
)o;y]B4  
　　=4cos³a-3cosa m/hSOP[_5  
J5Vnv|~RI  
　　sin3a=3sina-4sin³a zF$v5V   
P-Ip8  
　　=4sina(3/4-sin²a) E6x-n  
{\"bw{0  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 1KE7*  
,qqKU=u7  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) xE}4:KK13  
sQzH7+n  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) T M?M3  
Ofu-I{w+  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 76Z bMjG  
o*!5V(  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) sSbC t,  
AbYCl MD  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Z,sbA*!&  
Q?j7xMaAA  
　　=4cosa(cos²a-3/4) lyHe=s8O[  
]OD87?b)9  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] jX'b1vB*+}  
qrA9].L6  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) R~SL (^8  
X"ed0P  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) )t' M   
H@"Ma ^{vm  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} r8 \*<K  
R"-tk8P  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ih43DIg  
EUwM,:6}  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 1RPbH@ vi  
KTxxed@WD  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] !5/7=dq  
^hDN0  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) >( yJ~`o  
n>SD(.wU=  
　　上述两式相比可得 [cp"  
J*G]lQWim  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) w.uR[M"}  
3Wpk)kT0  
半角公式 "W^Y*$H04  
G <_  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); dK2W? qb  
t)q>FP  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ]x=KffKn  
~^op2@GP4  
和差化积 ~ ,|IDY  
hV'71|  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] hubUoyrF  
9y_?W~| $  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] [S6PX\{_  
^ {*<T?y  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *vM5 sl  
Mu4u^#X2  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] au LrwD|  
)65ee r  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) !m7NTFV'  
<[.\xIsB}  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) H@:Mc^y1  
9zD= g+`|  
积化和差 D(pn73S<c  
A)o: .Eq  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 2s=C<E  
x` KCr f  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] .F KW  
y( lH#}  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] xRP9w(@X  
g5-g,dp9y  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] +6fY% x')g  
O' rO8Uu  
诱导公式 h%963"TlT  
>EJ,$kZ;e  
　　sin(-α) = -sinα a4vs}[ M  
Ahm{ zq~  
　　cos(-α) = cosα by4r,s@pn  
% *1`kc  
　　sin(π/2-α) = cosα {H?YCVO4  
xpF LK@m_g  
　　cos(π/2-α) = sinα ")|&]L5  
9+EE=^G!  
　　sin(π/2+α) = cosα 7+v>UJ<*p  
7{TiG[;  
　　cos(π/2+α) = -sinα & QHRI4  
F")/^7,  
　　sin(π-α) = sinα 7GNt  
;puAYxy  
　　cos(π-α) = -cosα J '0<_`  
f9eC9vzoc  
　　sin(π+α) = -sinα Hc7=&}VHS;  
Wj-^!; bDp  
　　cos(π+α) = -cosα BvhfO2+%r  
a_ ! 1n  
　　tanA= sinA/cosA ;Ekt ?AF7I  
^ap=DcPV  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ;xb=lX&  
av]zxNT  
　　tan（π/2－α）＝cotα yA.*qCZ5  
klGbZ%6d_$  
　　tan（π－α）＝－tanα nn:z=i[E  
yNUn3eP  
　　tan（π＋α）＝tanα ~*p"rpgDd2  
J2)0yI Kwa  
万能公式 MMPyRJH  
}7"sL- 3  
　　 Q8Q neb  
N'bq7,T  
其它公式 8~Nwn&  
`r4rR  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ^&ntB+`;Bn  
i*`ow-:3  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 `wKt`  
tYbf>`%D  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 [ Fo@B{Q  
]JE[/=/  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 K1cV3"  
Wt% _& J:  
　　对于任意非直角三角形,总有 UjR(fK#o  
h8pkvi=  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC d/nco+)a  
cY l`~OQ  
　　证: g`I$p  
7KS^7\JC  
　　A+B=π-C 0fyAN7pI  
8x <RyMm6  
　　tan(A+B)=tan(π-C) F{!J.5/GMJ  
_AT uz,cCt  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) CaW4pz$)  
y  D ]P  
　　整理可得 x?ervmu  
cfB15\  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC &PU&  
6X:Z0'f[  
　　得证 SwWa7{  
`\e #T a8  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 H: DI42$  
 JK.P  
其他非重点三角函数 Q*kuE^W}  
sfJ1J  
　　csc(a) = 1/sin(a) nDs*j?wZ'  
KKd+U%6"  
　　sec(a) = 1/cos(a) 3TA<  
T3Xgo18F>B  
　　 o`sG_OAE  
nBS/8#i!'  
双曲函数 jQRYG*j  
h1"fSh})d  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 iVStP}t.  
hHvug na  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 v=Zs P}=  
[8 5hZ]  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) cEYUARXQ  
NE"grr&  
　　公式一： XYiG+2V_  
c;S4h   
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： d|:*k9,!  
;',H-LP  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 8#3>+A  
-RfwMg@m  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 8U ';' I  
m$!MfD|  
　　tan（kπ＋α）= tanα </sThUc'  
UiJ3~7  
　　cot（kπ＋α）= cotα {>pPYh=  
MIt;1D7J  
　　公式二： ZGx`)& 9  
)Xuq<]05=  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： H,D-zSay  
`ftdUq/1  
　　sin（π＋α）= -sinα % * I  
YC*+ng   
　　cos（π＋α）= -cosα UDB8D(94{  
~x`Y4{r f  
　　tan（π＋α）= tanα ua\cGe.e  
*| 2   
　　cot（π＋α）= cotα a"-O6Gy/D  
j1 15v  
　　公式三： v:Hv+Zj  
8V*!i4  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： R2ADKpKY  
Mc/l69Dh(  
　　sin（-α）= -sinα jJi,V$R v  
{=US-wk  
　　cos（-α）= cosα 2Nr`~i-  
R9ydG]KI0  
　　tan（-α）= -tanα A&Q?HE>j  
CbGB&vqZ(  
　　cot（-α）= -cotα d K,-m9S  
nk"BNJy  
　　公式四： Vy1f  
&&[>"q}P  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： =2u##  
"}g2H#N5!6  
　　sin（π-α）= sinα *@s"%}XU6  
%!**%>fxw7  
　　cos（π-α）= -cosα hEE@|[{  
Q:VKYOK  
　　tan（π-α）= -tanα R;s(!1kT*J  
wc@9 4;  
　　cot（π-α）= -cotα Fh+v>:E0  
C ,BpHK 1  
　　公式五： /4OB'H}  
gFcEqc{}  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Jz#QBpk:#  
D:ao-Jm  
　　sin（2π-α）= -sinα onl.Y*(IZ  
+?Z8y>U  
　　cos（2π-α）= cosα a>{G44y5I  
[opBQ'?  
　　tan（2π-α）= -tanα ZKO~[,~3%  
r]Q{=u/  
　　cot（2π-α）= -cotα P^WxR(U  
(G2h%WwE  
　　公式六： 4j{fFT?(  
ehUGU(  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：  _~aviQ  
gaGZ/- /:  
　　sin（π/2+α）= cosα |~Hjh,p{Z  
;Dou`Z.x  
　　cos（π/2+α）= -sinα ?WO#@oQ   
;zW%C$Fw!  
　　tan（π/2+α）= -cotα s|)>xow  
e I}1K_  
　　cot（π/2+α）= -tanα %t&(^E J  
@sN@jxxi  
　　sin（π/2-α）= cosα Lr 2Jnd  
FLbOw(  
　　cos（π/2-α）= sinα 9Wgj#H35  
**DvejU7j  
　　tan（π/2-α）= cotα %dJ QNQS ~  
4C$c?\Jc  
　　cot（π/2-α）= tanα ovy+H&D4  
t)saS  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Io9fRosN~  
V%g Ae$1  
　　cos（3π/2+α）= sinα `]Thk=!R0  
Ck_ -  
　　tan（3π/2+α）= -cotα U= oRbq3  
o0$L 4  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ;]N&NOECY  
:+kT<~U  
　　sin（3π/2-α）= -cosα qE8[rVu  
lD~My3#  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ~n&JOHw  
D=5A`)  
　　tan（3π/2-α）= cotα "iE0Kza]  
)n'zA S0  
　　cot（3π/2-α）= tanα n3Mp1"  
ojtX6v@  
　　(以上k∈Z) _BMMv R  
X=vu#4M )0  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 va/z_Lb"  
]o3lX =V  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = tgO^X3^p  
me-V4%$[  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } A=:/V?b{i  
n ~OhSE  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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