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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 B lAYI$<  
4$"!(C{  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. )Xc ]v7_.7  
t1Ah?B>  
　　1、三角函数本质： -#q[ee M  
W [MXs  
　　三角函数的本质来源于定义  *Zh/g  
b~WYY cb  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 uDk :  
qQ-9#So@  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Rhg]6|w8  
duy'y6,g  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 3q[[[}hTb3  
mgIX(  
　　推导： Pe} s~+JD  
Urx&_:,  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 |$:<@>s  
AF6ejO  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) L0M;}YTXu  
w|T*q1o  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) tx C1Z"6pg  
:7qVz  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 dS\80nR  
om@{e%MO  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） `HF$C zh0"  
XFfh=NAml  
　　[1] ~fFvS ib  
IxmBFu^+  
　　两角和公式 b5ZN6^S  
x}MJ{v,TC  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB A-$6Ng/  
U&VEH55H]  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  RN=-l>'y4  
%*uit+\  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ItLYuFV  
f8@7O &q  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 9&Vh(* ]q  
i#(UH3/  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 5{Br'hk  
D*;EIh s_  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) D8 ;>)z>  
XX}[) q#;  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  JWjd<'k  
I `<Vl\&5Y  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) !5vmo?\;P<  
gEsGn;{Vf:  
倍角公式 Kf}HRu j  
lW!X> g  
　　Sin2A=2SinA•CosA V5<K\  
kiM8DG]G  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 nOcLNXB  
1N0BB|iT  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） yGg9F+Mke3  
f,%e:l\  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） L! Q~V*  
@X<<[Ca  
三倍角公式 %He bmM`  
KD]<`\}M[  
　　 T6pf^zD  
E~.D9G  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Fy0I.how  
g}lKLnBH  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) %hv]G9|   
Lynl'F=.  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) uSab0  
H4esl#<4}  
三倍角公式推导 T% }:(r8[  
fm9;=OO  
　　sin3a 4yXY('39  
x6Q{th\s  
　　=sin(2a+a) <HNeCT|>  
_ 9>vP  
　　=sin2acosa+cos2asina u[|e\2  
"3J@ bdV^  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 3! QyTG  
wP|5>j2eJ  
　　=3sina-4sin³a G A^w':  
eHguo5  
　　cos3a U#f!0s[  
d^JNq?2  
　　=cos(2a+a) nKqJ,[:s}  
7\^,*:K  
　　=cos2acosa-sin2asina GxN,-3a  
E6, )W  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Z2kp'gky,  
ib[2;N/ XI  
　　=4cos³a-3cosa )79`\nuG  
W3!UI1vx  
　　sin3a=3sina-4sin³a }U#Lu[5U  
Zr5)8fRz9  
　　=4sina(3/4-sin²a) ?y'n+|}b  
$Vul  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] j!Iw%S@  
_PbrySU  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) >,`lQK"sL  
CVC@E#J@  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Sf 0GnA  
giH?A;eB6  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] O`Ee7m}|  
Ea^>iw  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Lf8|umJ4  
vm/*)h"x  
　　cos3a=4cos³a-3cosa \-s&[  
I1X-:N  
　　=4cosa(cos²a-3/4) o#6 WJW  
\zmzD:[7  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] tY ?Mult  
1#2OA_@W  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) }p >,  
hHO*,R  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 'L2`d\Yw  
?%` 8zw~8  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} G^<hW*cGt  
x/t-nJiY{  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ?& J4J0e  
U"W]\e\>T  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] e?@(I}x?C  
FL}| :PS  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] % Z3D eI2  
c,.AhMI?  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) D 'sr]  
E3Pt&nYLmy  
　　上述两式相比可得 M!Rd'U0pc  
[Nf|a`$  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) RGtf|0v  
2aw]\@c  
半角公式 yFR1[  
<MiV/1<  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ?6u3#2:  
LHtdM=80  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. tjVo[0,  
!oVIV)oL  
和差化积 Wxgvl:+  
Jo=yD$8  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6gDs?+;  
v3R-J%q  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] m }#D  
l M`OJgx~  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] E47 A6!6  
TME;e 90  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^W CPpT,  
4Ht\ae@d?  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ^x%-6=  
<$QIz^3U  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Hf@@YJ  
ym_/zc}E  
积化和差 wQO]CB  
dL;lG UO  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] H^-_G s  
:}=*"si  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] *6[EMan  
_S5`MCH  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Z4tu^" V9X  
(1KOAEX  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] DQpXj P,)  
VV+L[63|'  
诱导公式 9#kdBx}  
5W{f4ILU  
　　sin(-α) = -sinα dVH+,<A^  
B-wfH^  
　　cos(-α) = cosα 8tnrBykL  
$~*!4f%k(  
　　sin(π/2-α) = cosα _`wA@bf(  
_e |{g8  
　　cos(π/2-α) = sinα T'ge#7E  
Y_}1)Y-K  
　　sin(π/2+α) = cosα hXt`6R)  
 {40K_Q  
　　cos(π/2+α) = -sinα bXcScm  
G zdj p)s  
　　sin(π-α) = sinα g$ [V(9  
q]wF+tQ  
　　cos(π-α) = -cosα 0cl4 M  
TvR`Z  
　　sin(π+α) = -sinα 4 ])]N,  
{M,5qk  
　　cos(π+α) = -cosα bR(Tn&mO  
Sijp]h ?  
　　tanA= sinA/cosA g"9TVo,/  
""{Jpbke#7  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα \KGB/w4$b  
*^tzJRuj  
　　tan（π/2－α）＝cotα k*|N^gj}a  
_Qb )2T  
　　tan（π－α）＝－tanα jVsD$We  
5uf_Z  
　　tan（π＋α）＝tanα \1-dzc'  
SBJ.?J/7  
万能公式 LKP*}^d[uj  
EU0)O  
　　 '1WE&z/  
ya(|zC R  
其它公式 G`Rin^P  
I %D *-U  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 F ggY   
x58}U~n  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 :HcO"bgphR  
>fOMIiD  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 3=0[Emv  
i$AB 9{  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 gFL>IA4l  
!%4S7I#  
　　对于任意非直角三角形,总有 ,r7ANzBg6  
}H,U/ \*  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC "[E2gy8  
KyDL1vE#a  
　　证: T%`<dSgdw  
ulz&}og0  
　　A+B=π-C {gO R!ZRV)  
XmdBlG  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 3BKB Ar  
$wm>*J*f  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) hYeX bAx  
y?:0\h}g  
　　整理可得 rws[ayd  
Ude6 o_%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC knjN dp  
<N% Gk:A  
　　得证 0l Pr }  
_naw O^  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 i-^DRE8(7  
jj_C {>  
其他非重点三角函数 ak%??|#Qe  
P `~}8l  
　　csc(a) = 1/sin(a) agrA TsCO  
)Ng!{Ho0S  
　　sec(a) = 1/cos(a) H{:Vg7,uy  
[5d04e6=]  
　　 " eOTfUo'  
|G2&sU d  
双曲函数 xV7&hi-W  
HpJfk=A  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2  gN_NfE  
7c ts>p A  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 EN.ra@5|  
uIzw{^/r  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) lKH^To=re  
[%:LHD  
　　公式一： TaKT0%5  
;#Si=+RP  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ;nh[2>x"  
eqll|/+W  
　　sin（2kπ＋α）= sinα RYxk1 ?c  
 u1qiN5  
　　cos（2kπ＋α）= cosα k_-IAg%  
X/>bt^`^  
　　tan（kπ＋α）= tanα R@ nf3s+SB  
_x&L:  
　　cot（kπ＋α）= cotα # _eB8IcV^  
 TZOgz'  
　　公式二： /M=~bi!c*  
tfE8o& \{  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： C jcz I|4&  
:D0*D>a8  
　　sin（π＋α）= -sinα D hn<M0lW  
=Y`G2P  
　　cos（π＋α）= -cosα GZ$a)q{zD{  
!6s>3\u  
　　tan（π＋α）= tanα Oxs)L.52c  
<b6V  
　　cot（π＋α）= cotα ]F}6__  
':Y7{~q  
　　公式三： ;^B='}rS  
'O-nynP`[  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： YX AZ,tC  
w2tpU{y  
　　sin（-α）= -sinα Xr-_]^"  
'%yX -  
　　cos（-α）= cosα KlT#!O  
FaRv7[>B  
　　tan（-α）= -tanα Om`kH(J!  
IHK*.a  
　　cot（-α）= -cotα K^7>YWD  
UjxJg- gz  
　　公式四： R@I5<nV  
w#b@OO t^  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ?6~D|XoX  
?^(DBz]j  
　　sin（π-α）= sinα = aZ e qv  
>\3,x \%c  
　　cos（π-α）= -cosα J)* G'k  
<4f r1  
　　tan（π-α）= -tanα #HRBA  
N 2 CT  
　　cot（π-α）= -cotα ?r-MI4)[L  
0o56f| Z  
　　公式五： `1h?gP 4  
j~aPj3#%  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： `#[;ep  
'G nArH  
　　sin（2π-α）= -sinα W 'a]^  
Mg3 MA+X  
　　cos（2π-α）= cosα S$$vCR[6:  
J_bq.<wip  
　　tan（2π-α）= -tanα ]`h!qk/!  
Wne%= tB  
　　cot（2π-α）= -cotα i68 Ud=c  
z h|]e-b  
　　公式六： Jykmmw8j  
gt#[ [}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ~XL#+HjOj  
Bns#RY' E  
　　sin（π/2+α）= cosα I\\HRh&k  
zA6s:8  
　　cos（π/2+α）= -sinα bgdk<W,  
My$}i<u.  
　　tan（π/2+α）= -cotα {!P=_0 k7n  
[a '<jJ/s  
　　cot（π/2+α）= -tanα %=$)i{  
I;]7l8S~  
　　sin（π/2-α）= cosα ,%5Brv`rr  
=Y|g*4  
　　cos（π/2-α）= sinα H w A-  
J`wbb'[d  
　　tan（π/2-α）= cotα {OGh:*{  
EY8U~N.x`H  
　　cot（π/2-α）= tanα !7l/bX7)!  
b"WU4qko  
　　sin（3π/2+α）= -cosα gN .eXs  
A._  
　　cos（3π/2+α）= sinα i1M_\,|b]  
U$} !o}H  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 03sB,6-  
5ltVq }9  
　　cot（3π/2+α）= -tanα pJD+<F1'  
B]E J  
　　sin（3π/2-α）= -cosα g9^F 5'KCB  
$`fd,y 2  
　　cos（3π/2-α）= -sinα h&m/Y}aq?/  
i#dQdV2  
　　tan（3π/2-α）= cotα sQ$9Gtj  
.ytS*pU*  
　　cot（3π/2-α）= tanα J-~0`<  
4,4>yP@NE  
　　(以上k∈Z) `2z]Wa_  
59}T:-$bo  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 B6X<F,H=Z  
6ZgilY*~K  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = a0D: Do8  
O~/Z np_  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } bBuUiy]  
eytNqa Ht  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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